Intervalos#

\[ (a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\} \]
\[ (a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a<x\leq b\} \]

Más tipos:

  • \([a,b]\)

  • \([a,b)\)

  • \([a,\infty)\)

  • \((\infty,a]\)

Función valor absoluto#

\[\begin{split} f(x)=|x|=\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases} \end{split}\]

Propiedades:

  • \(|a|\) es la distancia de \(a\) al origen

  • \(|-a|=|a|\)

  • \(|ab|=|a|\cdot |b|\)

  • \(|a+b|\leq |a|+|b|\) (Desigualdad triangular)

Recordatorio:

\[ \sqrt{x^2}=|x| \]

Interpretación:

\(|a-b|\) es la distancia de \(a\) a \(b\)

Desiguadades famosas

\[ |a+b|\leq |a|+|b| \]
\[ ||a|-|b||\leq |a-b| \]

Intervalos y valor absoluto#

\[ |x-a|<r=\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<r\} \]
\[ |x|<r \Leftrightarrow -r<x<r \leftrightarrow x\in(-r,r) \]
\[ (a,b)=(c-r,c+r),\quad\text{con }c=\frac{a+b}{2},\quad r=\frac{b-a}{2} \]
\[ (a,b) = \{x: |x-c|<r \} \]
\[ [7,13]\quad\text{es}\quad |x-10|\leq 3 \]
\[ |x-a|<r\Leftrightarrow a-r <x<a+r \]
\[ 0<|x-a|<r\Leftrightarrow a-r<x<r\text{ o }r<x<a+r \]
\[ |x|>r\Leftrightarrow x>r \text{ o } x<-r\Leftrightarrow (-\infty,-r)\cup(r,\infty) \]