Exponencial y Logaritmo#

Función exponencial con base \(e\)#

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}(e^x)&=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{e^xe^h-e^x}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{e^x(e^h-1)}{h}\\ &=e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=e^x \end{align*}\]

Motivo:

\[ \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1 \]

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por tanto

\[ \frac{d}{dx}(e^x)=e^x \]

Además:

\[ \frac{d}{dx}(e^{u(x)})=u'(x)\cdot e^{u(x)} \]

Exponencial con base \(a\neq 0\)#

Dada \(f(x)=a^x\) sabemos que \(a=e^{\ln a}\). Entonces \(a^x=(e^{\ln a})^x = e^{(\ln a)x}\).

Derivando

\[ [a^x]' = e^{(\ln a)x}\frac{d}{dx}(\ln a)x=e^{(\ln a)x}\ln a = a^x \ln a \]

Logaritmo#

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}(\log x)&= \lim_{h\to0}\frac{\log (x+h)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{1}{x}\cdot\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}\\ &=\frac{1}{x} \end{align*}\]

Recordatorio

\[ \lim_{h\to0}\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=1 \]

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Aplicación: derivación logarítmica#

Sea \(F(x)=g(x)^{f(x)}\) una función. Para calcular su derivada:

  1. Se toman logaritmos

\[ \log F(x)=f(x)\log(g(x)) \]

  1. Se derivan los logaritmos usando la regla de la cadena

\[ \frac{F'(x)}{F(x)}=f'(x)\log(g(x))+f(x)\frac{g'(x)}{g(x)} \]

  1. Se despeja \(F'\) y se sustituye \(F(x)=g(x)^{f(x)}\)

\[ F'(x)=g(x)^{f(x)}\left(f'(x)\log(g(x))+f(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right) \]

Ejemplo: calcular la derivada de \(f(x)=x^{x^2}\)

  1. Tomando logaritmos

\[ \log(f(x))=x^2\log x \]

  1. Derivando

\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=2x\log x+x^2\frac{1}{x}=2x\log x+x \]

  1. Despejando y sustituyendo

\[ f'(x)=x^{x^2}(2x\log x+x) \]

Número \(e\) como límite#

Sabemos que si \(f(x)=\ln x\), entonces \(f'(x)=\frac{1}{x}\), por tanto \(f'(1)=1\). La pendiente de la recta tangente a la gráfica del logaritmo natural en \(x=1\) es 1.

Usando la definición de límite:

\[\begin{align*} f'(1)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln (1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\ln(1+h)\\ &=\lim_{h\to 0}\ln(1+h)^{\frac{1}{h}}=1 \end{align*}\]

Entonces

\[ e=e^1=e^{\lim_{x\to 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} \]

Haciendo el cambio \(n=\frac{1}{x}\), si \(x\to 0\) entonces \(n\to\infty\) y el límite queda

\[ e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]

Ejercicio: comprobar numéricamente estos límites.

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