Representación gráfica de funciones derivables#
Representación gráfica con la primera derivada#
Para representar gráficamente una función \(f\) se ha de
Encontrar su dominio. Ver si se puede extender por continuidad a los bordes del dominio. Estudiar asíntotas. Cortes con los ejes.
Encontrar los puntos críticos de \(f\) en su dominio. Es decir los puntos \(x\) tales que
\(f'(x)\) no existe,
\(f'(x)=0\).
Ordenar los puntos críticos de \(f\) dentro del dominio obteniéndose diversos intervalos.
Estudiar el signo de \(f'\) en los intervalos encontrados en el apartado anterior. Si \(c\) punto crítico y
si \(f'(x)>0\) en \((a,c)\) y \(f'(x)<0\) en \((c,b)\) entonces, la función pasa de creciente a decreciente y \(c\) es un máximo.
si \(f'(x)<0\) en \((a,c)\) y \(f'(x)>0\) en \((c,b)\) entonces, la función pasa de decreciente a creciente y \(c\) es un mínimo.
Estudiar \(f\) cerca de los puntos críticos en los que no existe la derivada. Evaluar \(f\) en máximos y mínimos.
Concavidad#
Sea \(f\) una función continua en un intervalo \(I\). Se dice que \(f\) es cóncava hacia arriba en \(I\) si para cualquier par de puntos \(a,b\in I\), la recta secante a la gráfica de \(f\) en \(a\) y \(b\) queda por encima de la gráfica de \(f\). Se dice que \(f\) es cóncava hacia abajo en \(I\) la recta secante a la gráfica de \(f\) en \(a\) y \(b\) (\(a,b\in I\)) queda por debajo de la gráfica de \(f\).
En la figura, la gráfica} de \(f\) está en rojo y la de la línea secante entre \(a\) y \(b\) en azul.
Puntos de inflexión#
Sea \(f\) una función continua en \((a,b)\). Se dice que \(c\) es un punto de inflexión de \(f\) si \(f\) cambia su concavidad en \(c\).
Warning
Un punto \(c\) puede ser de inflexión aunque \(f'(c)\) no exista
Note
Para hallar los puntos de inflexión se buscan los puntos \(x\in(a,b)\) donde
\(f''(x)\) no existe
\(f''(x)=0\)
Warning
En algunos libros, la definición de punto de inflexión puede ser diferente de la presentada aquí
Primera derivada y concavidad#
Si \(f\) es derivable en \((a,b)\) y * \(f'(x)\) creciente en \((a,b)\) entonces \(f\) es cóncava hacia arriba en \((a,b)\), * \(f'(x)\) decreciente en \((a,b)\) entonces \(f\) es cóncava hacia abajo en \((a,b)\).
Segunda derivada y concavidad#
Si \(f\) tiene dos derivadas en \((a,b)\) y
\(f''(x)>0\) entonces \(f\) es cóncava hacia arriba en \((a,b)\),
\(f''(x)<0\) entonces \(f\) es cóncava hacia abajo en \((a,b)\).
Motivo#
Si \(f''(x)>0\) en \((a,b)\) entonces \(f'(x)\) creciente en \((a,b)\) y por lo tanto \(f\) cóncava hacia arriba en \((a,b)\).
Si \(f''(x)<0\) en \((a,b)\) entonces \(f'(x)\) decreciente en \((a,b)\) y por lo tanto \(f\) cóncava hacia abajo en \((a,b)\).
Ejemplos#
Sea \(f(x)=e^x\). Como \(f''(x)=e^x>0\) en \({\mathbb R}\) entonces \(e^x\) es cóncava hacia arriba en \({\mathbb R}\).
Sea \(f(x)=\log x\). Como \(f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0\) en \({\mathbb R}^+\) entonces \(\log x\) es cóncava hacia abajo en \({\mathbb R}^+\).