Propiedades de funciones#

Funciones crecientes y decrecientes#

Sea \(I\in\text{Dom}f\subset\mathbb{R}\) un intervalo

  • \(f\) es creciente en \(I\) cuando para todo \(x_1,x_2\in I\) con \(x_1< x_2\), entonces \(f(x_1)\leq f(x_2)\)

  • \(f\) es decreciente en \(I\) cuando para todo \(x_1,x_2\in I\) con \(x_1< x_2\), entonces \(f(x_1)\geq f(x_2)\)

fishy

Fig. 5 Rogawski Calculus, Second Edition Copyright © 2012 W. H. Freeman and Company#

Si existe la derivada, una función es creciente cuando \(f'(x)>0\) y decreciente cuando \(f'(x)<0\).

Máximos y mínimos relativos#

Una función tiene un máximo relativo en un punto si es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha

Una función tiene un mínimo relativo en un punto si es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha

fishy

Fig. 6 Función con un máximo y un mínimo relativo#

Se llama máximo absoluto al mayor valor que toma la función en el dominio

Se llama mínimo absoluto al menor valor que toma la función en el dominio

Comentarios#

  • \[f(x)=x^3-4x^2+x+6,\,x\in\mathbb{R}\]

    • Tiene un máximo y mínimo relativo, pero no absolutos. No es creciente ni decreciente. No es inyectiva, por lo tanto no tiene inversa global.

  • \[f(x)=x^3-4x^2+x+6,\,x\in[0,2]\]

    • Estrictamente decreciente, tiene máximo y mínimo, es inyectiva y tiene inversa.