Aplicación derivada inversa e implícita#
Trigonométricas inversas#
Arco seno#
La función \(\sin x\) es biyectiva y, por lo tanto, tiene inversa en el intervalo \([-\pi/2,\pi/2]\).
La función arcoseno es la función
\[\begin{split}
\begin{cases}
\arcsin(\sin x)=x,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\\
\sin(\arcsin x)=x,\quad x\in [-1,1]
\end{cases}
\end{split}\]
Derivando implícitamente la expresión respecto a \(x\) (\(\frac{d}{dx}\))
\[
\arcsin x = y\Leftrightarrow \sin y = x
\]
obtenemos
\[
(\frac{d}{dx})\qquad 1 = \cos y\frac{dy}{dx}\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
Finalmente
\[
[\arcsin x]' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad x\in (-1,1)
\]
Arco coseno#
\[
\arccos x = y \Leftrightarrow \cos y = x\qquad y\in[0,\pi],\quad x\in [-1,1]
\]
Derivamos a ambos lados de la ecuación
\[
\cos(\arccos x)=x,
\]
obteniendo
\[
-\sin(\arccos x)(\arccos' x)=1 \Rightarrow \arccos'(x) = - \frac{1}{\sin(\arccos x)}
\]
Si llamamos \(\alpha =\arccos x\) entonces nos queda escribir \(\sin(\arccos x)\) usando trigonometría
\[\begin{split}
\begin{cases}
\cos\alpha = x\\
\sin\alpha = \sin(\arccos x)
\end{cases}
\Rightarrow 1 = \cos^2\alpha +\sin^2\alpha= x^2+\sin^2(\arccos x)
\end{split}\]
Por tanto \(\sin(\arccos(x))=\pm \sqrt{1-x^2}\). Para escoger el signo basta observar que \(\arccos x\in (0,\pi)\), por tanto \(\sin(\arccos x)>0\), es decir \(\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}\). Sustituyendo en la expresión para la derivada
\[
\arccos'(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
\[
[\arccos x]' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}},\quad x \in (-1,1)
\]
Arco tangente#
\[
\arctan x = y\Leftrightarrow \tan y = x,\qquad y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\quad x \in\mathbb{R}
\]
\[
[\tan y = x]'\Rightarrow (1+\tan^2 y)y'=1\Rightarrow y'=\frac{1}{1+\tan^ y}=\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\mathbb{R}
\]
Inversas de trigonométricas e hiperbólicas#
Las siguientes derivadas se deducen de manera análoga a la del ejemplo
\[
\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \frac{d}{dx}(\textnormal{arcsinh} x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
\]
\[
\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \frac{d}{dx}(\textnormal{arccosh} x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
\]
\[
\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2},\qquad \frac{d}{dx}(\textnormal{arctanh} x)=\frac{1}{1-x^2}
\]
Logaritmo#
\[
[\log_a x]'=\frac{1}{x\ln a}
\]
Demostración
Tenemos
\[
y=\log_a x\rightarrow a^y=x
\]
Derivando implícitamente
\[
a^y\ln a\frac{dy}{dx}=1\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{a^y\ln a}=\frac{1}{x\ln a}
\]
Además, si \(a=e\)
\[
\ln e = 1\rightarrow [\ln x]' = \frac{1}{x}
\]