La Derivada#

Motivación#

La velocidad de un coche a la entrada de un túnel

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La velocidad instantanea a la entrada del túnel es:

\[ v=\displaystyle\lim_{t_2\to t_1}\dfrac{distancia_2-distancia_1}{t_2-t_1}=\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta d}{\Delta t} \]

donde

  • \(\Delta t\) es el tiempo que ha pasado entre dos mediciones.

  • \(\Delta d\) es la distancia que se ha avanzado entre esos dos tiempos.

  • Al cociente \(\dfrac{\Delta d}{\Delta t}\) se le llama cociente incremental.

Note

Se dice que la velocidad instantánea es la derivada de la distancia con respecto al tiempo. Es un límite de cocientes incrementales (distancia/tiempo)

Definición#

En general, si \(f\) es una funci’on y \(x\) es su variable, se define la derivada de \(f\) con respecto a \(x\) en el punto \(a\) como:

\[ \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) =\dfrac{df}{dx}(a) \]

Note

  • \(f'(a)\) es la notación de Lagrange

  • \(\frac{df}{dx}(a)\) es la notación de Leibniz

  • \(\Delta x = a+h-a = h\)

  • \(\Delta f=f(a+h)-f(a)\)

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Interpretación geométrica#

\[ {\color{red}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(a)}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}={\small\textnormal{pendiente de la recta secante por $a$ y $a+h$}} \]

¿Qué pasa con esa pendiente si \(h\) se hace cada vez más pequeño?

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\[ {\color{red}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(a)} \to {\color{green}\dfrac{df}{dx}(a)} \]

Note

\(\frac{df}{dx}(a)\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(a\).

La recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en \((a,f(a))\) es:

\[ y-f(a)=f'(a)(x-a) \]

La derivada \(f'(a)\) es la rapidez de cambio instantáneo de \(y=f(x)\) con respecto a \(x\) cuando \(x=a\).

La derivada como función#

En lugar de definir \(f'(a)\) definimos \(f'(x)\) es un punto genérico \(x\) del dominio de \(f\). De esta manera obtenemos la función derivada

\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Por ejemplo, si \(f(x)=x^2\) tenemos

\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)= 2x \]

Notaciones alternativas#

La función derivada tiene varias notaciones posibles:

\[ f'(x)=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_xf(x) \]

Función derivable#

Una función \(f\) es derivable en \(a\) si existe \(f'(a)\). Es derivable en un intervalo \(I\) si lo es para todo \(x\in I\).

Teorema: si \(f\) es derivable en \(a\) entonces \(f\) es continua en \(a\).

Derivadas de orden superior#

Si \(f\) es derivable, entonces \(f'\) es una funión y puede tener derivada propia.

Denotamos a dicha derivada por \(f'' = (f')'\). Llamamos a esta función derivada segunda de \(f\).

Notaciones alternativas:

\[ f''=y''=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2} \]

La derivada segunda representa la rapidez instantánea del cambio de la velocidad o aceleración.

Ejercicio#

Hallar la expresión de la derivada n-ésima de \(f(x)=\cos (x)\):

En general, si \(n\in\mathbb N\):

\[\begin{split} f^{n)}(x)=\begin{cases} -\sin x, & n=4k+1,\\ -\cos x, & n=4k+2,\\ \sin x, & n=4k+3,\\ \cos x, & n=4k. \end{cases} \end{split}\]