Sucesiones#
Una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido: \(a_0\), \(a_1\), \(a_2,\ldots\)
La sucesión se denota
Ejemplo:
Más formalmente: una sucesión es una aplicación de los naturales en los reales:
Ejemplos:
\(a(n)=n^2\)
\(b(n)=\frac{n}{n+1}\)
\(c(n)=\sqrt{\log n}\)
\(d(n)=e^n/n\)
Definition 2
Una sucesión \(\{a_n\}\) tiene límite \(L\), esto es
si podemos hacer que los términos \(a_n\) sean tan cercanos a \(L\) como queramos tomando \(n\) suficientemente grande. Si existe \(\lim_{n\to\infty}a_n\) la sucesión converge, si no existe, entonces diverge.
Theorem 9
Si \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\) y \(f(n)=a_n\) con \(n\in\mathbb{N}\), entonces \(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)
Ejemplo: la sucesión \(\{\frac{1}{n^2}\}\) converge a 0, porque \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0\).
Propiedades#
Si \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) son sucesiones convergentes y \(c\) una constante
\(\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty} a_n\pm \lim_{n\to\infty} b_n\)
\(\lim_{n\to\infty}c a_n=c \lim_{n\to\infty} a_n\)
\(\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n\cdot \lim_{n\to\infty} b_n\)
\(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}\) si \(\lim_{n\to\infty}b_n\neq 0\)
\(\lim_{n\to\infty}a_n^p = \left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)^p\) si \(p>0\) y \(\lim_{n\to\infty}a_n\)>0$
Theorem 10 (Teorema de la compresión)
Si \(a_n\leq b_n\leq c_n\) para \(n\geq n_0\) y
entonces
Del teorema de la compresión se deduce que si \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=0\) entonces \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).
Theorem 11
Si \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\) y \(f\) es una función continua en \(L\), entonces
Definition 3
Una sucesión \(\{a_n\}\) se denomina
creciente si \(a_n<a_{n+1}\) para todo \(n\geq 1\), es decir, se cumple \(a_1<a_2<a_3<\ldots\)
no decreciente si \(a_n\leq a_{n+1}\) para todo \(n\geq 1\)
decreciente si \(a_n>a_{n+1}\) para todo \(n\geq 1\).
no creciente si \(a_n\geq a_{n+1}\) para todo \(n\geq 1\).
Una sucesión es monótona si es alguna de las anteriores.
Ejemplos
\(\{1,1/2,1/3,\ldots\}\)
\(\{2,4,8,\ldots\}\)
\(\{2,2,4,4,8,8,\ldots\}\)
¿La sucesión \(a_n=\frac{n}{n+1}\) es monótona? Como \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}>1\) es monótona (creciente)
¿La sucesión \(a_n=\frac{2^n}{n!}\) es monótona?
Definition 4
Una sucesión \(\{a_n\}\) está acotada superiormente si existe \(M\) tal que \(a_n<M\) para todo \(n\geq 1\).
Una sucesión está acotada inferiormente si existe \(m\) tal que \(m<a_n\) para todo \(n\geq 1\).
Toda sucesión convergente está acotada.
Toda sucesión no acotada es divergente.
Theorem 12 (Teorema de la sucesión monótona)
Toda sucesión acotada y monótona es convergente
Sucesiones y funciones#
Las sucesiones están definidas para \(n\in \mathbb{N}\) y no en intervalos de \(\mathbb{R}\). Por esta razón no se pueden aplicar los métodos del cálculo para su estudio. No obstante, a menudo es posible rodear esta dificultad, considerando, en vez de la sucesión, una función de variable real \(x\) que coincide con la sucesión en todos los naturales \(n\).
Ejemplo: la sucesión \(a_n=\frac{n}{e^n}\) decrece. Está acotada superiormente por \(1/e\) e inferiormente por 0.
Para comprobar lo anterior trabajamos con \(f(x)=x/e^x\). Derivando
Dado que \(f'(x)=0\) en \(x=1\) y \(f'(x)<0\) para \(x>1\), la función decrece en \([1,\infty)\). Por tanto, la sucesión \(a_n\) decrece. Entonces, el primer término (\(1/e\)) es el mayor de todos y, como todos los términos son positivos, \(0\) es una cota inferior.
Observación: considerar una función de variable real para analizar una sucesión puede ser peligroso. La función \(y=f(x)\) y la sucesión \(y_n=f(n)\) pueden tener comportamientos distintos.
La sucesión \(f(n)=\frac{1}{n-11.5}\) está acotada entre -2 y 2. La función \(f(x)=\frac{1}{11.5-x}\) no está acotada.
La sucesión \(f(n)=\sin n\pi\) es idénticamente nula (y monótona). La función \(y=\sin \pi x\) no es monótona.