Función Exponencial#
Exponenciales con base \(a>1\)#
El número \(e\approx 2,7182\) es aquel que hace que la pendiente de la tangente en el punto \((0,1)\) sea exactamente igual a 1.
Comparación de exponenciales#
Base \(a\) y \(1/a\) (\(a\neq 1\))
Propiedades#
- \[ e^{x+y}=e^x\cdot e^y \]
- \[ \left(e^x\right)^y=e^{xy} \]
- \[ \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\qquad e^{-x}=\frac{1}{e^x} \]
- \[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0\qquad \lim_{x\to\infty}e^x=\infty \]
Derivada#
\[
f(x)=a^x,\quad a>0.\qquad f'(x)=a^x\ln a
\]
Ejercicio Demostrar que la derivada de \(f(x)=a^x\) es \(f'(x)=a^x\ln a\) usando que la derivada de \(\ln x\) es \(1/x\). Deducir de aquí que es creciente para \(a>1\) y decreciente si \(a<1\).
Solución
\[
y=a^x \underbrace{\rightarrow}_{\text{aplicando logaritmos}}\ln y=x\ln a
\underbrace{\rightarrow}_{\text{derivando}} \frac{y'}{y}=\ln a.
\]
Entonces \(y'=a^x\ln a\). Como \(\ln a>0\) si \(a>1\) y negativo si \(a<1\), obtenemos crecimiento y decrecimiento.
Comparación con potencias#
