Series#

Definition 5 (Definición de serie)

Una serie es una suma de los infinitos términos de una sucesión

\[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1+a_2+a_3+\ldots \]

Por ejemplo, dada la sucesión \(a_n=\frac{1}{2^n}\), la serie sería

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots = 1 \]

Definition 6 (Suma parcial)

Dada la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+\ldots\) se define la n-ésima suma parcial, \(S_n\), como

\[ S_n=\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\ldots+a_n \]

Las sumas parciales de 1 a infinitos definen la sucesión \(\{S_n\}\)

\[\begin{align*} S_1&=a_1\\ S_2&=a_1+a_2\\ \cdots\\ S_n=\sum_{i=1}^na_i&=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\\ \cdots \end{align*}\]

Si la sucesión \(\{S_n\}\) es convergente y \(\lim_{n\to\infty} S_n=S\) existe, entonces la serie \(\sum a_n\) se llama convergente y \(\sum_{n=1}^\infty a_n=S\).

El número \(S\) se denomina suma de la serie. Si la sucesión \(\{S_n\}\) es divergente, entonces la serie es divergente.

Series convergentes: linealidad#

Si \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) son dos series convergentes también lo serán

\[ \sum(a_n\pm b_n),\qquad \sum c\cdot a_n,\quad c\in\mathbb{R} \]

Prueba de la divergencia#

Veremos una condición necesaria para que una serie converga.

Theorem 13

Si la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) es convergente, se cumple que \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).

fishy

Proof. Sea \(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\) y \(S_{n-1}=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}\). Entonces \(a_n=S_n-S_{n-1}\).

Si la serie \(\sum a_n\) es convergente, entonces la sucesión \(\{S_n\}\) es convergente. Si \(\lim_{n\to \infty}S_n=S\), entonces \(\lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S\).

Entonces \(\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}S_n-S_{n-1}=S-S = 0\).

Note

Prueba de la divergencia: si no existe \(\lim_{n\to \infty}a_n\) o si \(\lim_{n\to \infty}a_n\neq 0\) entonces \(\sum a_n\) es divergente

Ejemplo: demuestre que la serie

\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{5n^2+4} \]

diverge.

Como

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{5n^2+4}= \frac{1}{5}\neq 0 \]

la serie diverge.

Warning

No siempre se cumple que si \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\) la serie \(\sum a_n\) converja. Por ejemplo, en la serie armónica.

Prueba de la integral#

Veremos ahora una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie.

Si \(f\) es una función continua, positiva y decreciente en \([1,\infty)\) y \(a_n=f(n)\) entonces la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) es convergente si y solo si la integral impropia

\[ \int_1^{\infty}f(x)dx \]

es convergente.

fishy

Ejemplo: determinar si converge \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) con \(a_n=\frac{\ln n}{n}\).

Ya que \(f(x)=\ln x / x\) es una función positiva y continua para \(x>1\) y

\[ f'(x)=\frac{x\left(\frac{1}{x}\right)-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}<0,\quad \text{ si }x>1 \]

tenemos que \(f\) es decreciente si \(x>1\). Podemos aplicar la regla de la integral:

\[ \int_1^\infty \frac{\ln x}{x}dx= \lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{\ln x}{x}dx= \lim_{t\to\infty}\left.\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^t =\lim_{t\to\infty}\frac{(\ln t)^2}{2}=\infty \]

luego la serie es divergente.

Ejemplo#

Estudiar la convergencia de la serie

\[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log^p n},\quad \text{ para } p>0 \]

Como \(f(x)=\frac{1}{x\log^px}\) es una función positiva y decreciente para \(x\geq 2\) la convergencia de la serie es equivalente a la convergencia de la integral

\[ \int_2^\infty\frac{1}{x\log^px} \]

Resolvemos la integral separando dos casos:

  • \(p\neq1\)

\[\begin{split} \int_2^\infty \frac{1}{x\log^px}=\left.\frac{\log^{1-p} x}{1-p}\right|_2^\infty= \lim_{x\to\infty}\frac{\log^{1-p}x}{1-p}-\frac{\log^{1-p}2}{1-p}= \begin{cases} \infty,&p<1\\ \frac{\log^{1-p}2}{p-1},&p>1 \end{cases} \end{split}\]

  • \(p=1\)

\[ \int_2^\infty \frac{1}{x\log x}=\left.\log\log x\right|_2^\infty= \lim_{x\to\infty}\log\log x-\log\log 2=\infty \]

Por tanto

\[ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\log^p n}\quad \text{ converge si }p>1\text{ y diverge si }p\leq 1. \]

Comparación de series#

Si \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) son dos series con términos positivos:

  • Si \(\sum b_n\) es convergente y \(a_n\leq b_n\) \(\forall n\) entonces \(\sum a_n\) es convergente

  • Si \(\sum b_n\) es divergente y \(a_n\geq b_n\) \(\forall n\) entonces \(\sum a_n\) es divergente

Comparación en el límite#

Si \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) son dos series con términos positivos, y

\[ L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} \]

  • Si \(L=0\) y \(\sum b_n\) converge, entonces \(\sum a_n\) converge

  • Si \(L=\infty\) y \(\sum b_n\) diverge, entonces \(\sum a_n\) diverge

  • Si \(L\neq 0,\infty\), entonces \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) tienen el mismo carácter (ambas series convergen o divergen).

Criterio de la raíz#

Dada una serie \(\sum a_n\) tal que \(a_n\geq 0\) y dado \(\lambda =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)

  • Si \(\lambda<1\) entonces \(\sum a_n\) converge

  • Si \(\lambda >1\) entonces \(\sum a_n\) diverge

  • Si \(\lambda =1\) entonces no se puede decir nada

Criterio del cociente#

Dada una serie \(\sum a_n\) con \(a_n>0\) y \(\lambda = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

  • Si \(\lambda<1\) entonces \(\sum a_n\) converge

  • Si \(\lambda >1\) entonces \(\sum a_n\) divergen

  • Si \(\lambda=1\) entonces no se puede decir nada