Teoremas de funciones derivables#
Teorema de Rolle#
Theorem 2
Sea \(f\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) tal que \(f(a)=f(b)\). Entonces existe un \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=0\).
Gráficamente
Warning
Puede haber más de un \(c\) entre \(a\) y \(b\) que cumpla \(f'(c)=0\).
Proof. Como \(f\) es continua en \([a,b]\) el teorema de Weierstrass implica que alcanza su máximo y mínimo absoluto en el intervalo.
Si el máximo y el mínimo están en los extremos de los intervalos, como \(f(a)=f(b)\), la función ha de ser constante, y en ese caso \(f'(c)=0\) para cualquier \(c\in(a,b)\).
Si uno de los dos, el máximo o el mínimo, está en \((a,b)\). Sea \(c\in(a,b)\) dicho extremo. Como \(f\) es derivable en \((a,b)\) y \(c\) es un extremo de \(f\), entonces \(f'(c)=0\).
Aplicación#
Sea la función \(s=f(t)\) de un móvil. Si el objeto pasa por el mismo lugar en dos tiempos diferentes, \(t=a\) y \(t=b\), entonces \(f(a)=f(b)\). Por el teorema de Rolle, existe un instante \(t=c\), entre \(a\) y \(b\) donde \(f'(c)=0\), es decir, la velocidad del móvil es cero.
Ejemplo: lanzamiento de una pelota hacia arriba.
Teorema del Valor Medio#
Theorem 3
Sea \(f\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Entonces existe \(c\in(a,b)\) tal que
Warning
Puede haber más de un \(c\) entre \(a\) y \(b\) que cumpla \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Gráficamente
Pendiente de la recta roja discontinua
Pendiente de la recta verde, \(f'(c)\)
Ambas iguales
Proof. Es una aplicación del Teorema de Rolle. Consideramos
Como \(F(a)=f(a)\) y \(F(b)=f(a)\), aplicacndo el Teorema de Rolle a F se encuentra \(c\in(a,b)\) tal que \(F'(c)=0\). Es decir
Ejemplo#
Un objeto se mueve en línea recta con función de posición \(s=f(t)\). Entonces la velocidad media entre \(t=a\) y \(t=b\) es
y la velocidad en \(t=c\) es \(f'(c)\). Por el Teorema del Valor Medio, sabemos que existe un \(c\in(a,b)\) tal que la velocidad instantánea es igual a la velocidad media. \textbf{Ejemplo: }si un coche recorre 180 km en 2 horas, entonces hay por lo menos un momento en el cual el velocímetro ha marcado 90 km/h.
Aplicación: crecimiento y decrecimiento#
Se dice que una función \(f:A\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) es creciente en un intervalo \(I\) si para todo \(a<b\), \(a,b\in I\) se tiene \(f(a)\le f(b)\).
Se dice que es decreciente en \(I\) si para todo \(a<b\), se tiene \(f(a)\ge f(b)\).
Aplicación del teorema del valor medio#
Note
Sea \(f\) derivable en \((a,b)\)
Si \(f'(x)>0\) en \((a,b)\), entonces \(f\) es creciente en \((a,b)\)
Si \(f'(x)<0\) en \((a,b)\), entonces \(f\) es decreciente en \((a,b)\)
Motivo
Supongamos que \(f'(x)>0\) en \((a,b)\) y sean \(x_1<x_2\) dos puntos cualquiera de \((a,b)\). Aplicando TVM a \((x_1,x_2)\) existe \(c\in(x_1,x_2)\) tal que
es decir \(f\) es creciente en \((a,b)\).
De igual manera se prueba el decrecimiento de \(f\) en \((a,b)\) si \(f'(x)<0\).
Teorema del Valor Medio Generalizado#
Theorem 4 (Teorema del Valor Medio Generalizado)
Sean \(f\) y \(g\) continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\). Supóngase además que \(g'(x)\neq 0\) en \((a,b)\). Entonces existe \(c\in(a,b)\) tal que
Demostración: basta aplicar el teorema de Rolle a la función
Regla de L’Hôpital#
Es una aplicación del teorema del valor medio
Note
Si \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}gx)=0\) pero \(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) existe, entonces también existe \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) y además:
Proof. Se aplica el TVM generalizado a \(f\) y \(g\) en el intervalo entre \(x\) y \(a\), obteniéndose \(c_x\in(x,a)\) tal que
ya que \(f(a)=g(a)=0\) (haciendo \(f\) y \(g\) continuas en \(a\)). Tomando límites cuando \(x\to a\), necesariamente \(c_x\to a\) y se obtiene