Inversas#

Inyectividad#

Una función \(f:A\subset{\mathbb R}\to {\mathbb R}\) es inyectiva si dos puntos distintos de \(A\) tienen imágenes diferentes. Matemáticamente:

\[ x,y\in A,\quad x\neq y \Longrightarrow f(x)\neq f(y) \]

La inyectividad depende del conjunto \(A\) (dominio de \(f\)).

Ejemplos

  • \(f(x)=x^3\) es inyectiva en \({\mathbb R}\).

  • \(f(x)=x^2\) no es inyectiva en \({\mathbb R}\) pero s’{\i} como funci’on en \({\mathbb R}^+\).

  • \(f(x)=e^x\) es inyectiva en \({\mathbb R}\).

  • \(f(x)=\sin x\) es inyectiva en \([-\pi/2,\pi/2]\) pero no en \({\mathbb R}\).

Gráficamente se puede comprobar si una función es inyectiva si ninguna recta horizontal corta en dos puntos distintos a la gráfica de la función.

fishy

Fig. 10 Ejemplo de gráfica de función no inyectiva.#

Las funciones estrictamente crecientes y las estrictamente decrecientes son inyectivas.

Sobreyectividad#

Una función \(f:A\subset{\mathbb R}\to {\mathbb R}\) es sobreyectiva en \(B\) si \(f(A)=B\). Matemáticamente,

\[ \textnormal{para todo } y\in B \textnormal{ existe } x\in A \textnormal{ tal que } y=f(x) \]

La sobreyectividad depende de \(A\) (dominio de \(f\)) y de \(B\) (dominio en el que queramos definir \(f^{-1}\)).

Ejemplos. En los ejemplos siguientes consideramos que el dominio de las funciones es \({\mathbb R}\) (es decir, \(A={\mathbb R}\))

  • \(f(x)=x^3\) es sobreyectiva en \({\mathbb R}\).

  • \(f(x)=x^2\) es sobreyectiva en \({\mathbb R}^+\) pero no en \({\mathbb R}\).

  • \(f(x)=e^x\) es sobreyectiva en \({\mathbb R}^+\) pero no en \({\mathbb R}\).

  • \(f(x)=\sin x\) es sobreyectiva en \([-1,1]\) pero no en \({\mathbb R}\).

La función \(f:A\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) es siempre sobreyectiva en \(f(A)\). Por tanto

Si \(f\) es inyectiva en \(A\) entonces \(f\) tiene inversa y su inversa está definida en \(f(A)\).

Ejemplos. En los ejemplos siguientes consideramos que el dominio de las funciones es \({\mathbb R}\) (es decir, \(A={\mathbb R}\))

  • \(f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) con \(f(x)=x^3\) es inyectiva y sobreyectiva ya que \(f({\mathbb R})={\mathbb R}\), por tanto tiene inversa. Su inversa \(f^{-1}:{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) es \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\).

  • \(f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}^+\) con \(f(x)=e^x\) es inyectva y sobreyectiva ya que \(f({\mathbb R})={\mathbb R}^+\). Su inversa \(f^{-1}:{\mathbb R}^+\to{\mathbb R}\) es \(f^{-1}(x)=\log x\).

  • \(f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}^+\) con \(f(x)=x^2\) es sobreyectiva ya que \(f({\mathbb R})={\mathbb R}^+\) pero no es inyectiva y por tanto no tiene inversa.

  • \(f:{\mathbb R}\to[-1,1]\) con \(f(x)=\sin x\) es sobreyectiva en \([-1,1]\) pero no es inyectiva y por tanto no tiene inversa.

Función inversa#

Dada una función \(f:A\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) se dice que \(f\) tiene inversa si existe otra función \(f^{-1}:B\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) tal que

  1. \(f^{-1}\) es una funci’on

  2. \(f^{-1}(f(x))=x\) y \(f(f^{-1}(x))=x\)

En el diagrama, \(f^{-1}\) es la inversa de \(f\)

fishy

Fig. 11 Función inversa#

No todas las funciones tienen inversa. Por ejemplo: La inversa de \(f(x)=x^2\) {\bf no} es \(g(x)=\sqrt{x}\) ya que:

  • \(g(f(x))=\sqrt{x^2}\neq x.\)

Ejemplo: si \(x=-3\) entonces \(g(f(-3))=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\neq -3\)

  • \(f(g(x))=(\sqrt{x})^2\neq x\)

Ejemplo: si \(x=-3\) entonces \(f(g(-3))=(\sqrt{-3})^2=?? \neq -3\)

Una función \(f\) puede no tener inversa por dos motivos:

  1. Que no se pueda saber con certeza de qué \(x\) procede \(y\). Veremos que en este caso falla la inyectividad de la función.

fishy

Fig. 12 Función no inyectiva#

Ejemplo \(y=x^2\) no tiene inversa:

\[\begin{split} \left.\begin{array}{l} y(x)=x^2\\ y=4 \end{array} \right\} \Longrightarrow x=\textnormal{?} \end{split}\]

  1. Que no haya \(x\) del cuál procede \(y\). Veremos que en este caso falla la sobreyectividad de la función.

\begin{center} \includegraphics[width=5.5cm]{nosobre.pdf} \end{center}

fishy

Fig. 13 Función no sobreyectiva#

Ejemplo \(y=\sin(x)\) no tiene inversa en \(\mathbb R\):

\[\begin{split} \left. \begin{array}{l} y(x)=\sin(x)\\ y=2 \end{array} \right\} \Longrightarrow x=\textnormal{?} \end{split}\]

Gráfica de funciones inversas#

La gráfica de \(f^{-1}\) es simétrica a la gráfica de \(f\) con respecto a la recta \(x=y\) (es decir, se intercambian los papeles de \(x\) e \(y\)).

Ejemplo 1 Gráfica de \({\color{red}f(x)=x^3}\) y de \({\color{blue}f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}}\)

fishy
fishy
fishy

Ejemplo 2. Gráfica de \({\color{red}f(x)=\frac{3x-1}{x+2}}\) y de \({\color{blue}f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{3-x}}\).

fishy
fishy
fishy

Ejemplo. Gráfica de la inversa de una función no inyectiva

Gráficas de \({\color{red}f(x)=x^2}\) y de \({\color{blue}f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x}}\).

fishy
fishy
fishy
fishy

Warning

Las funciones no inyectivas no tienen inversa propiamente dicha.

Para definir una inversa de una función no inyectiva se toma una rama (en el ejemplo la rama es \(+\sqrt{x}\)). Pasa también con las inversas de las funciones trigonométricas.}