Cambios en la parametrización

Sentido de la parametrización

Hemos visto que

\[ x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t,\quad t\in[0,2\pi) \]

parametriza el círculo unidad, pero también lo hace

\[ x(t)=\cos(2\pi -t),\quad y(t)=\sin(2\pi-t),\quad t\in[0,2\pi) \]

En ambas parametrizaciones, el círculo unidad se recorre entero una vez, pero el sentido es contrario enla primera que en la segunda

Note

Si \(\mathbf{c}(t)\) con \(t\in[a,b]\) es una parametrización de una curva, entonces \(\mathbf{c}(a+b-t)\) con \(t\in[a,b]\) es una parametrización de la misma cruva que invierte la orientación.

Ejercicio

Hallar dos parametrizaciones del trozo de parábola dado por \(y = x^2\) , con \(x\in [−1, 2]\), una con punto inicial \(A = (−1, 1)\) y final \(B = (2, 4)\), y otra que invierta la orientación anterior.

Punto inicial

En el ejemplo de la circunferencia, también podemos cambiar el punto inicial y el punto final, por ejemplo, haciendo:

\[ x(t)=\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right),\quad y(t)=\sin \left(t+\frac{\pi}{2}\right),\quad t\in[0,2\pi) \]