Máximos y mínimos. Optimización#
Máximos y mínimos#
Dada \(f:A\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\).
Se dice que \(a\) es un máximo local o máximo relativo de \(f\) si \(f(a)\ge f(x)\) para todo \(x\) cerca de \(a\).
Se dice que \(a\) es un mínimo local o mínimo relativo de \(f\) si \(f(a)\le f(x)\) para todo \(x\) cerca de \(a\).
Cuando hablamos de “cerca” nos referimos a un entorno \(I\subset A\) del punto \(a\) (posiblemente pequeño).
A los máximos y mínimos locales de \(f\) se les llama extremos locales o extremos relativos de \(f\).
Si \(f(a)\geq f(x)\) para todo \(x\in A\), entonces \(f\) tiene un máximo absoluto en \(a\)
Si \(f(a)\leq f(x)\) para todo \(x\in A\), entonces \(f\) tiene un mínimo absoluto en \(a\)
Caracterización de extremos#
Theorem 5
Si \(f\) es derivable en \(a\) y \(a\) es un extremo relativo de \(f\) (es decir, un máximo o mínimo de \(f\)) entonces:
Gráficamente
Fig. 31 Mínimo en \(a\) y máximo en \(b\) con \(f'(a)=0\) y \(f'(b)=0\)#
Motivo#
Supongamos que \(a\) es un extremo relativo y además \(f'(a)>0\). Entonces por la definición de derivada,
Si \(h>0\)
Si \(h<0\)
\(a\) no podría ser extremo relativo de \(f\), y se llega a una contradicción. Análogamente se llega a una contradicción si se supone \(f'(a)<0\). Por tanto, si \(a\) extremo relativo de \(f\), \(f'(a)=0\).
Puntos críticos#
Sea \(f\) continua en el intervalo \(A\). Los puntos críticos de \(f\) en \(A\) son los puntos \(x\in A\) donde
\(f'(x)\) no existe
\(f'(x)=0\).
Fig. 32 \(a\) y \(b\) son puntos críticos de \(f\); \(f'(a)\) no existe y \(f'(b)=0\).#
Warning
No todos los puntos críticos son extremos relativos de \(f\).
Note
Si \(f\) tiene un máximo o mínimo local en \(a\) entonces \(a\) es un punto crítico de \(f\).
Búsqueda de máximos y mínimos#
Teorema de Weierstrass#
Theorem 6
Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo
Fig. 33 Función con máximo absoluto en \(x=b\) y mínimo absoluto en \(x=c\).#
Warning
Se necesitan las hipótesis de que la función sea continua y de que el intervalo sea cerrado y acotado.
En las siguientes gráficas, las funciones no tienen máximo o mínimo global porque no cumplen alguna de las condiciones del teorema de Weierstrass.
Búsqueda de máximos y mínimos relativos#
Si buscamos máximos y mínimos relativos:
Buscamos los puntos críticos
Usamos alguno de los siguientes criterios para caracterizarlos
Prueba primera derivada#
Si \(f'\) cambia de signo positivo a negativo en \(c\) entonces \(f\) tiene un máximo local en \(c\)
Si \(f'\) cambia de signo negativo a positivo en \(c\) entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(c\)
Si \(f'\) mantiene su signo antes y después de \(c\), entonces \(f\) no tiene ni máximo ni mínimo; tiene un punto de inflexión en \(c\)
Prueba segunda derivada#
(Ha de existir \(f'(c)\) y ser igual a 0
Si \(f''(c)>0\) entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(c\)
Si \(f''(c)<0\) entonces \(f\) tiene un máximo local en \(c\)
Búsqueda de máximos y mínimos absolutos#
Buscaremos máximos y mínimos absolutos en intervalos cerrados y acotados (ver teorema de Weierstrass). Los candidatos a extremos absolutos son:
los puntos críticos y
los extremos del intervalo
Comparando el valor de la función en esos puntos hallaremos el máximo y mínimo absolutos.
Para hallar máximos y mínimos absolutos de una función \(f\) continua en un intervalo cerrado y acotado (compacto), \([a,b]\) seguimos los siguientes pasos:
Encontrar puntos críticos de \(f\) que estén contenidos en \([a,b]\): \(c_1,c_2,\ldots\)
Hallar el valor de \(f\) en los puntos anteriores
Hallar el valor de \(f\) en los extremos del intervalo \(a\) y \(b\)
Comparar el valor de \(f\) en todos los puntos anteriores
El (los) máximo(s) se corresponden con los máximos absolutos
El (los) mínimo(s) se corresponden con los mínimos absolutos