Reglas de derivación#

  • El cálculo de derivadas de funciones puede reducirse, en muchos casos, a una mera manipulación formal.

  • Esto es debido a que, como hemos visto, las derivadas de las funciones elementales (\(x^3\), \(e^x\), \(\log(x)\), \(\sin(x)\), etc.) son fáciles de calcular usando la definición de derivada.

  • Las derivadas de funciones m’as complicadas pueden obtenerse a partir de las derivadas de éstas mediante sencillas reglas de derivación.

Derivadas básicas#

Las derivadas de las siguientes funciones pueden obtenerse geométricamente

  • La función constate \(\frac{d}{dx}(c)=0\) si \(c\in\mathbb{R}\)

  • La función lineal \(\frac{d}{dx}(cx)=c\)

  • Si \(p\in \mathbb{R}\) entonces

\[ \frac{d}{dx}(x^p)=px^{p-1} \]

Por ejemplo:

  • Potencias de enteros positivos, como el cuadrado (\(p=2\)): \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)

  • Potencias de enteros negativos, como el recíproco (\(p=-1\)): \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}\)

  • Potencias racionales, como la raíz cuadrada (\(p=1/2\)): \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Demostración:

Note

Recordatorio

\[ (a+b)^n = \displaystyle\sum_{i=0}^n {n\choose i} a^{n-i}b^i \]

Note

Recordatorio

\[ {n\choose i} = \frac{n!}{i!(n-i)!} \]

Enlace Wikipedia

\[\begin{align*} f'(x)=&\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\left[ x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-1}h^2+\cdots+h^n \right]-x^n}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}) \\&=nx^{n-1} \end{align*}\]

Ejemplo: derivada de \(x^3\)

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}(x^3)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h\to0}3x^2+3xh+h^2=3x^2 \end{align*}\]

Suma, producto y cociente#

\[ [f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x) \]
\[ [f(x)*g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

Ejemplo, si \(F(x)=\sqrt{x} g(x)\) donde \(g(4)=2\) y \(g'(4)=3\), encuentra \(F'(4)\)

\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \]

Ejemplo: si \(f(x)=1\) y \(g(x)=x\) recuperamos la fórmula para la derivada de \(1/x\)

\[ \left(\frac{1}{x}\right)'=\frac{x(1)'-1(x)'}{x^2}=-\frac{1}{x^2} \]
\[ (cf(x))'=cf'(x),\quad c\in\mathbb{R} \]

La regla de la cadena#

La regla de la cadena permite calcular la derivada de la función compuesta

\[ (g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) \]

Si queremos derivar \(F(x)={\color{red} \sqrt{{\color{blue}1+x^2}}}\) hacemos lo siguiente.

  1. \(F(x)={\color{red}f\bigl({\color{blue}g(x)}\bigr)}\) con \(f(x)={\color{red}\sqrt{x}}\) y \(g(x)={\color{blue}1+x^2}\).

  2. \(f(x)={\color{red}\sqrt{x}} \longrightarrow f'(x)={\color{red}\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}\).

  3. \(g(x)={\color{blue}1+x^2} \longrightarrow g'(x)={\color{blue}2x}\).

  4. Aplicamos la regla de la cadena:

\[ F'(x)={\color{red}f'\bigl({\color{blue}g(x)}\bigr)}\cdot {\color{blue}g'(x)}={\color{red}\dfrac{1}{2\sqrt{\color{blue}1+x^2}}}\cdot {\color{blue}2x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]

Ejercicio#

Hallar la derivada de \(h(x)=\sin(x^2)\).

Note

Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son dos funciones derivables que se pueden componer y \(f(x)=f(g(x))\) entonces:

  • [Notación de Lagrange]

\[ F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) \]

  • [Notación de Leibniz]

\[ \frac{d}{dx}\left(f(g(x))\right)= \frac{df}{dx}(g(x))\cdot \frac{dg}{dx}(x) \]

Note

Forma alternativa

Si \(u=g(x)\) y \(v=f(u)\) entonces

\[ \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dx} \]

Regla de la cadena y potencia#

Sea \(f(x)=x^n\). Dada una función \(g(x)\), derivable, se tiene que

\[ (f\circ g)'(x) = [(g(x))^n]' = n (g(x))^{n-1}\cdot g'(x) \]