Tasas de cambio relacionadas

Calculamos la tasa de cambio de una cantidad en términos de la tasa de cambio de otra cantidad

Ejemplo: se bombea aire de un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de 100 \(cm^2/seg\). Obtener \(\frac{dr}{dt}\) cuando \(r=25cm\).

Dado que el volumen de una esfera, en función de su radio, es \(V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3\) y que

\[ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\frac{dr}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt} \]

donde hemos usado la regla de la cadena para la función \(V(r(t))\); despejando obtenemos el valor pedido

\[ \frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dV}{dt} \]

Usando los valores del enunciado

\[ \frac{dr}{dt}(r=25)=\frac{1}{4\pi (25)^2}\cdot 100 \approx 0.0127\frac{cm}{seg} \]