Derivación numérica

Casos:

• conocida una función en base a una lista de valores de la misma \((x_i,y_i)_{i=1}^n\)

• función cuya derivada sea complicad de calcular, tomando una cantidad finita de valores de la misma \((x_i,f(x_i))_{i=1}^n\)

podemos estimar la derivada de \(f\) en cada \(x_i\) haciendo una aproximación a la definición de derivada mediante un cociente incremental:

\[ f'(x_i)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\thickapprox\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}} = \frac{y_i-y_{i-1}}{\Delta x} \]

Ejercicio: halla, numéricamente, la derivada de la función

\[ y=f(x)=\frac{\sqrt{\sec^2(\sqrt{x})-1}}{\sqrt{x}} \]

para valores de \(x\) en el intervalo \([3,7.5]\).

Antiderivadas

Una función \(F\) se denomina antiderivada de \(f\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\in I\).

Theorem 7 (Antiderivadas)

Si \(F\) es una antiderivada de \(f\) en \(I\), entonces \(F+C\) también es una antiderivada de \(f\) para todo \(C\in\mathbb{R}\).

Fig. 34 Antiderivadas de \(y=x^2\)