Operaciones con funciones#

Sean \(f\) y \(g\) dos funciones de variable real

  • Suma

\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad x\in\text{Dom}f\cap \text{Dom}g \]

  • Producto

\[ (fg)(x)=f(x)g(x),\quad x\in\text{Dom}f\cap \text{Dom}g \]

  • Producto por escalares

\[ \lambda \in\mathbb{R},\quad (\lambda f)(x)=\lambda f(x),\quad x\in\text{Dom}f \]

Composición de funciones#

La composición de funciones consiste en concatenar una función detrás de otra.

Si \(f:A\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) y \(g:B\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\), se pueden concatenar si \(f(A)\subset B\) y en tal caso se escribe \(h=g\circ f:A\subset{\mathbb R}\to{\mathbb R}\) siendo \(h(x)=g(f(x))\). Es decir, \(h\) es el resultado de aplicar primero \(f\) y luego \(g\).

fishy

Fig. 7 Diagrama de flechas de la composicion#

Ejercicio#

Sean \(f(x)=\sqrt{x}\) y \(g(x)=x^2\). Hallar \(f\circ g\) y \(g\circ f\).

La regla de la cadena#

La regla de la cadena permite calcular la derivada de la función compuesta

\[ (g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) \]

Si queremos derivar \(F(x)={\color{red} \sqrt{{\color{blue}1+x^2}}}\) hacemos lo siguiente.

  1. \(F(x)={\color{red}f\bigl({\color{blue}g(x)}\bigr)}\) con \(f(x)={\color{red}\sqrt{x}}\) y \(g(x)={\color{blue}1+x^2}\).

  2. \(f(x)={\color{red}\sqrt{x}} \longrightarrow f'(x)={\color{red}\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}\).

  3. \(g(x)={\color{blue}1+x^2} \longrightarrow g'(x)={\color{blue}2x}\).

  4. Aplicamos la regla de la cadena:

\[ F'(x)={\color{red}f'\bigl({\color{blue}g(x)}\bigr)}\cdot {\color{blue}g'(x)}={\color{red}\dfrac{1}{2\sqrt{\color{blue}1+x^2}}}\cdot {\color{blue}2x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]

Ejercicio#

Hallar la derivada de \(h(x)=\sin(x^2)\).