Resto de Taylor#

\(P_{n,a}^f\) es una aproximación de \(f\) cerca del punto \(x=a\). Se llama resto de Taylor \(n\) al error cometido al sustituir \(f\) por su polinomio de Taylor de orden \(n\), es decir,

\[ R_{n,a}^f(x) = f(x)-P_{n,a}^f(x) \]

o bien

\[ R_{n,a}^f(x) = f(x)-\left(f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f^{n)}(a)}{n!}(x-a)^n\right) \]

El teorema de Taylor nos dice que \(R_{n,a}^f(x) =\mathcal{o}((x-a)^n)\). Pero hay expresiones más concretas de cómo es este resto de Taylor.

Note

Usaremos la forma de Lagrange del resto (si \(f\) tiene \(n+1\) derivadas)

\[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

para un \(\xi\) entre \(a\) y \(x\) desconocido.

Acotación del resto de Taylor#

Para tener una estimación del resto (o error) es necesario acotar la expresión anterior. Para ello se toman valores absolutos y se acota el valor absoluto de la derivada por el máximo valor posible que ésta puede tomar entre \(x\) y \(a\) (de esta manera se evita tener que evaluarla en el valor desconocido \(\xi\)).

\[ |R_{n,a}(x)|\le \dfrac{\phantom{m}|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\max_{\xi \text{ entre } x \text{ y } a}|f^{n+1)}(\xi)|. \]

Si \(|f^{(n+1}(x)|\leq M\) para todo \(x \in[a,b]\) entonces

\[ |R_{n,a}(x)|\leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} \]

Ejemplo#

  1. Hallar una aproximación lineal de \(\sqrt[3]{8.06}\).

  2. Estimar el error cometido por dicha aproximación lineal.

Solución

  1. Se aproxima \(\sqrt[3]{8.06}\) mediante el polinomio de Taylor de orden \(n=1\) (lineal) de la funci’on \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) centrado en \(8\). Por tanto, si \(x\) cerca de \(8\)

\[ f(x)\approx f(8)+f'(8)(x-8) \xrightarrow[{\color{azul}x=8.06}]{{\color{azul}f(x)=\sqrt[3]{x}}} \sqrt[3]{8.06}\approx \sqrt[3]{8}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}(8.06-8) \]

Sustituyendo \(f(8)=\sqrt[3]{8}=2\) y \(f'(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{12}\), se tiene

\[ \sqrt[3]{8.06}\approx 2+\dfrac{0.06}{12}=2.005 \Rightarrow \boxed{\sqrt[3]{8.06}\approx 2.005} \]

  1. Se puede estimar el error usando la forma de Lagrange del resto de Taylor con \(a=8\), \(x=8.06\) y \(n=1\):

\[ \sqrt[3]{8.06}-2.005=\dfrac{f''(\xi)}{2!}(8.06-8)^2\xrightarrow{{\color{azul}f''(x)=\tfrac{-2}{9\sqrt[3]{x^5}}}} \sqrt[3]{8.06}-2.005=\dfrac{-2\cdot(0.06)^2}{2\cdot 9\cdot\sqrt[3]{\xi^5}} \]

para \(\xi\in[8,8.06]\). Tomando valores absolutos:

\[ \left|\sqrt[3]{8.06}-2.005\right|=\left|\dfrac{-2\cdot(0.06)^2}{2\cdot 9\cdot\sqrt[3]{\xi^5}}\right|\le \dfrac{(0.06)^2}{9}\max_{\xi\in[8,8.06]}\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{\xi^5}}\right| \]

La función \(\tfrac{1}{\sqrt[3]{\xi^5}}\) es decreciente y positiva si \(\xi\in[8,8.06]\) por tanto su máximo se alcanza en \(\xi=8\)

\[ \max_{\xi\in[8,8.06]}\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{\xi^5}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt[3]{8^5}}=\dfrac{1}{2^5}. \]

Sustituyendo en la estimación del error:

\[ \left|\sqrt[3]{8.06}-2.005\right|\le \dfrac{(0.06)^2}{9}\max_{\xi\in[8,8.06]}\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{\xi^5}}\right|=\dfrac{(0.06)^2}{9\cdot 2^5}=1.25\cdot 10^{-5}. \]

Ejercicio#

Aproximar \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) en \(a=8\) con \(T_2(x)\)

Tenemos:

  • \(f(8)=2\)

  • \(f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\)

  • \(f'(8)=\frac{1}{12}\)

  • \(f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}\)

  • \(f''(8)=-\frac{1}{144}\)

\[ \sqrt[3]{x}\simeq T_2(x)=2+\frac{1}{12}(x-8)-\frac{1}{288}(x-8)^2 \]

Obtener una cota de error cuando se aproxima el valor de \(\sqrt[3]{8.1}\).

Como la función \(f'''(x)=10/27x^{-8/3}\) es decreciente, la función de error vendrá dada por

\[ Err(x)\leq\frac{M}{3}|x-8|^3 \]

con \(M=|f'''(8)|=0.0014\). Por tanto

\[ Err(8.1)\leq\frac{0.0014}{3!}|8.1-8|^3=2.41\cdot 10^{-7} \]

Ejercicios#

  • [Nov2018] Escribir el polinomio de Taylor de grado 4 de la función \(e^x\) en el punto \(x=0\). Dar un valor aproximado de \(e\).

\[ P_4(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} \]
\[ e\approx P_4(1)=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}\approx 2,708333 \]

  • [Julio2018] Dada la función \(f(x)=\sqrt{4+x}\) Se pide (a) obtener el polinomio de Taylor de segundo grado de \(f\) en \(a=0\). (b) Estimar el valor de \(\sqrt{4.02}\) mediante el polinomio obtenido y acotar el error de dicha aproximación.

\[ f(x)=\sqrt{4+x},\quad f'(x)=\frac{1}{2}(4+x)^{-\frac{1}{2}},\quad f''(x)=-\frac{1}{4}(4+x)^{-\frac{3}{2}} \]

Como \(f(0)=2,f'(0)=1/4,f''(0)=-1/32\) entonces

\[ P_2(x)=2+\frac{x}{4}-\frac{x^2}{32} \]

Estimamos \(\sqrt{4.02}\) usando \(x=0.02\):

\[ P_2(0.02)=2+\frac{0.02}{4}-\frac{0.02^2}{32}\approx 2.00497875. \]

El error cometido es menor que

\[ \frac{M}{3!}|x-0|^3 \]

siendo \(M\) una cota a \(f'''(x)=\frac{3}{8}(4+x)^{-5/2}\). Es una función decreciente, así que usamos \(f'''(0)=\frac{3}{256}\). Entonces el error queda acotado por

\[ \frac{3}{6\cdot256}(0.02)^3\approx 1.5625\cdot 10^{-8} \]