Derivación implícita

A veces \(y\) es función de \(x\) pero no se puede despejar. En tal caso todavía se puede hallar la derivada de \(y(x)\) derivando implícitamente.

Pasos:

1. Se derivan ambos lados de la igualdad

Warning

Cada vez que se derive \(y\) o alguna expresión en la que intervenga \(y\) se aplica la regla de la cadena, apareciendo \(y'\)

2. Se despeja y’

Dada la ecuación implícita \(F(x,y)=0\), podemos derivar respecto a \(x\) a ambos lados.

Ejemplos

• Dada \(x^2+y^2=25\), derivando \(\frac{d}{dx}\) a ambos lados obtenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)&=\frac{d}{dx}(25)\\ \frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}y^2&=0\\ 2x+2y\frac{dy}{dx}&=0\\ 2x+2yy'=0 \end{align*}\]

En este caso podemos despejar \(y'=\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}\)

• Calcular \(y'(x)\) donde \(y\) viene dada implícitamente por \(\cos y+\sin(x^2y^2)=1\).

Derivamos ambos lados de la ecuación

\[ -\sin y\cdot y'+\cos(x^2y^2)(2xy^2+2x^2yy')=0 \]

Despejamos \(y'\):

\[ y'(-\sin y+2x^2y\cos(x^2y^2))+2xy^2\cos(x^2y^2)=0 \]

\[ y'=\frac{2xy^2\cos(x^2y^2)}{\sin y-2x^2y\cos(x^2y^2)} \]

Derivada de la inversa

Si \(f^{-1}(x)\) es la función inversa de \(f(x)\), se puede escribir su derivada en términos de la de \(f\). Para calcular \((f^{-1})'(x)\) se usa el siguiente m’etodo:

1. Como \(f^{-1}\) es la inversa de \(f\) se tiene,

\[ f(f^{-1}(x))=x, \]

2. se derivan ambos lados de la igualdad, usando la regla de la cadena:

\[ \bigl(f(f^{-1}(x))\bigr)'=\bigl(x\bigr)'\Longrightarrow f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x)=1, \]

3. se despeja \((f^{-1})'(x)\)

\[ (f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}. \]

Warning

La mayor dificultad estriba en escribir de forma adecuada \(f'(f^{-1}(x))\).

• [Julio2018] Encontrar la ecuación de la recta tangente a la elipse \(x^2/2+y^2/4=1\) en el punto \((1,\sqrt{2})\). ¿En qué otros puntos de dicha elipse la tangente es paralela a la anterior?

\[ x+\frac{yy'}{2}=0\rightarrow y'=-\frac{2x}{y}\rightarrow y'(1,\sqrt{2})=-\sqrt{2}=m \]

La ecuación de la recta tangente

\[ y-y_0=m(x-x0)\rightarrow y=-\sqrt{2}x+2\sqrt{2} \]

Los otros puntos con igual pendiente salen de

\[\begin{split} \begin{cases} -\sqrt{2}=-\frac{2x}{y}\rightarrow y=\sqrt{2}x\\ \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1 \end{cases} \end{split}\]

Queda

\[ x^2=1\rightarrow x=\pm 1\rightarrow y=\pm \sqrt{2}\rightarrow (1,\sqrt{2}),(-1,-\sqrt{2}) \]