Funciones trigonométricas#

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Los ángulos deben estar en radianes

  • Derivada del seno

\[ \frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x) \]

Demostración:

Necesitamos unos resultados previos

Teorema de la compresión#

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

Demostración:

fishy

Tomamos ángulo \(x>0\) en radianes. La gráfica muestra como \(\sin x < x < \tan x\). Dividimos por \(\sin x (\neq 0)\):

\[ \frac{\sin x}{\sin x}<\frac{x}{\sin x}<\frac{\tan x}{\sin x} \]

Simplificando

\[ 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x} \]

Invirtiendo (y usando la regla \(0\leq a<b\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{1}{a}\))

\[ \cos x<\frac{\sin x}{x}<1 \]

Tomando límites cuando \(x\to 0\)

Note

Recordatorio:

\[ \lim_{x\to 0}\cos x =1 \]
\[ \lim_{x\to 0}\cos x<\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}<\lim_{x \to 0}1 \]

usando el teorema de la compresión tenemos

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

Límite#

\[\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}&=\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}\frac{\cos h+1}{\cos h+1}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\cos^2h-1}{h(\cos h+1)}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{-\sin^2 h}{h(\cos h+1)}\\ &-\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{(\cos h+1)}\\ &=-1\left(\frac{0}{1+1}\right)=0 \end{align*}\]

Seno#

Usaremos los resultados anteriores para hallar la derivada de \(f(x)=\sin(x)\)

\[\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\left( \frac{\sin x\cosh-\sin x}{h}-\frac{\cos x\sin h}{h}\right)\\ &=\lim_{h\to0}\left( \sin x\frac{\cos h -1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h} \right)\\ &=\cos x \end{align*}\]

Otras funciones#

\[ [\cos x]' = -\sin x \]
\[ [\csc x]' = -\csc x\cot x \]
\[ [\sec x]' = -\sec x\tan x \]
\[ [\tan x]' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \]
\[ [\cot x]' = -\csc^2 = \cot^2-1 \]